Contoh Soal Induksi Matematika

Mencontek Official

Induksi matematika adalah teknik pembuktian yang sangat penting dalam matematika, khususnya untuk membuktikan kebenaran suatu proposisi untuk semua bilangan asli. Berikut ini adalah contoh soal induksi matematika yang dilengkapi dengan penyelesaian yang detail.

Table of Contents

Soal:

Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli ( n ), berlaku:

$$sum_{k=1}^{n} k = frac{n(n+1)}{2}$$

Penyelesaian:

Langkah 1: Basis Induksi

Pertama-tama, kita perlu menunjukkan bahwa proposisi tersebut benar untuk nilai awal ( n = 1 ).

$$sum_{k=1}^{1} k = 1 = frac{1(1+1)}{2} = 1$$

Jadi, basis induksi terpenuhi.

Langkah 2: Langkah Induksi

Selanjutnya, kita asumsikan bahwa proposisi tersebut benar untuk ( n = p ), yaitu:

$$sum_{k=1}^{p} k = frac{p(p+1)}{2}$$

Kita harus membuktikan bahwa proposisi tersebut juga benar untuk ( n = p + 1 ).

Langkah 3: Pembuktian untuk ( n = p + 1 )

$$sum{k=1}^{p+1} k = left( sum{k=1}^{p} k right) + (p+1)$$

Menggunakan asumsi induksi, kita dapat menulis:

$$sum_{k=1}^{p+1} k = frac{p(p+1)}{2} + (p+1)$$

$$sum_{k=1}^{p+1} k = frac{p(p+1) + 2(p+1)}{2}$$

$$sum_{k=1}^{p+1} k = frac{(p+1)(p+2)}{2}$$

Ini menunjukkan bahwa proposisi tersebut benar untuk ( n = p + 1 ).

Dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, kita telah membuktikan bahwa proposisi tersebut benar untuk semua bilangan asli ( n ).


Induksi matematika sering digunakan untuk membuktikan rumus-rumus atau proposisi yang melibatkan bilangan asli. Teknik ini memanfaatkan sifat-sifat bilangan asli yang terurut dan tak terhingga. Dengan memahami dan menerapkan induksi matematika, kita dapat menyelesaikan berbagai masalah matematika dengan lebih sistematis dan terstruktur.

Also Read

Bagikan:

Tags

Tinggalkan komentar