Mengasah Kemampuan Induksi Matematika dengan Contoh Soal

Mencontek Official

Induksi matematika adalah teknik pembuktian yang sangat penting dalam matematika, khususnya dalam membuktikan kebenaran suatu proposisi untuk semua bilangan bulat positif. Artikel ini akan menyajikan contoh soal induksi matematika yang sering muncul di platform Brainly, lengkap dengan penyelesaian yang terperinci.

Apa Itu Induksi Matematika?

Induksi matematika adalah metode pembuktian yang terdiri dari dua langkah utama: langkah basis dan langkah induksi. Langkah basis memverifikasi kebenaran proposisi pada kasus awal, biasanya untuk ( n = 1 ). Langkah induksi menunjukkan bahwa jika proposisi berlaku untuk ( n = k ), maka ia juga berlaku untuk ( n = k + 1 ).

Contoh Soal dan Pembahasan

Soal 1: Deret Aritmetika

Pernyataan:
Untuk setiap bilangan bulat positif ( n ), berlaku:

$$ 1 + 2 + 3 + ldots + n = frac{n(n+1)}{2} $$

Pembahasan:

  • Langkah Basis:
    Untuk ( n = 1 ), kita memiliki:

$$ 1 = frac{1(1+1)}{2} $$

  • Langkah Induksi:
    Asumsikan pernyataan berlaku untuk ( n = k ), yaitu:

$$ 1 + 2 + 3 + ldots + k = frac{k(k+1)}{2} $$

Kemudian, buktikan untuk ( n = k + 1 ):

$$ 1 + 2 + 3 + ldots + k + (k+1) = frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} $$

Dengan menggunakan asumsi induksi, kita dapat menuliskan:

$$ begin{align}
1 + 2 + 3 + ldots + k + (k+1) &= frac{k(k+1)}{2} + (k+1)
&= frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2}
&= frac{(k+1)(k+2)}{2}
end{align
} $$

Jadi, pernyataan tersebut benar untuk ( n = k + 1 ).

Soal 2: Pertidaksamaan Eksponensial

Pernyataan:
Untuk setiap bilangan bulat ( n geq 5 ), berlaku:

$$ 2^n > n^2 $$

Pembahasan:

  • Langkah Basis:
    Untuk ( n = 5 ), kita memiliki:

$$ 2^5 > 5^2 $$

  • Langkah Induksi:
    Asumsikan pernyataan berlaku untuk ( n = k ), yaitu:

$$ 2^k > k^2 $$

Buktikan untuk ( n = k + 1 ):

$$ 2^{k+1} > (k+1)^2 $$

Dengan menggunakan asumsi induksi, kita dapat menuliskan:

$$ begin{align}
2^{k+1} &= 2 cdot 2^k
&> 2 cdot k^2
&> k^2 + 2k + 1
&= (k+1)^2
end{align
} $$

Jadi, pernyataan tersebut benar untuk ( n = k + 1 ).

Kesimpulan

Melalui contoh soal di atas, kita dapat melihat bagaimana induksi matematika digunakan untuk membuktikan berbagai proposisi matematika. Dengan pemahaman yang baik tentang langkah basis dan induksi, siswa dapat mengembangkan kemampuan mereka dalam membuktikan pernyataan matematika yang lebih kompleks.


Referensi untuk artikel ini dapat ditemukan di Ilmiah Contoh Soal Induksi Matematika Kelas 11 Beserta Jawabannya Brainly dan StudioBelajar.com.

Also Read

Bagikan:

Tags

Tinggalkan komentar