Rumus Deret Genap Melalui Induksi Matematika

Mencontek Official

Deret aritmetika genap seperti (2 + 4 + 6 + 8 + ldots + 2n) memiliki pola di mana setiap suku berikutnya adalah penambahan dari dua unit dari suku sebelumnya. Untuk menemukan rumus jumlah deret ini, kita dapat menggunakan prinsip induksi matematika.

Misalkan (S_n) adalah jumlah dari n suku pertama deret tersebut, maka:

[ S_n = 2 + 4 + 6 + 8 + ldots + 2n ]

Kita tahu bahwa suku ke-n dari deret ini adalah (2n). Jika kita mengambil jumlah n suku pertama deret aritmetika ini, kita dapat mengatakan bahwa:

[ S_n = n(2n + 2) / 2 ]

Ini karena jumlah suku-suku dalam deret aritmetika adalah sama dengan rata-rata suku pertama dan terakhir dikalikan dengan jumlah suku.

Untuk membuktikan rumus ini dengan induksi matematika, kita lakukan dua langkah utama:

  1. Basis Induksi:
    Pertama, kita periksa kebenaran rumus untuk nilai n yang paling sederhana, yaitu n=1.

[ S_1 = 2 ]

Ini sesuai dengan rumus ( S_n = n(2n + 2) / 2 ) karena:

[ S_1 = 1(2 cdot 1 + 2) / 2 = 2 ]

  1. Langkah Induksi:
    Kemudian, kita asumsikan bahwa rumus tersebut benar untuk suatu bilangan asli k, sehingga:

[ S_k = k(2k + 2) / 2 ]

Selanjutnya, kita harus menunjukkan bahwa rumus ini juga benar untuk ( k+1 ), yaitu:

[ S_{k+1} = S_k + 2(k + 1) ]

Dengan mengganti ( S_k ) dengan ( k(2k + 2) / 2 ), kita dapatkan:

[ S_{k+1} = [k(2k + 2) / 2] + 2(k + 1) ]

[ S_{k+1} = (k^2 + k + 2k + 2) / 2 ]

[ S_{k+1} = ((k + 1)(2k + 2)) / 2 ]

[ S_{k+1} = (k + 1)(2(k + 1) + 2) / 2 ]

Ini menunjukkan bahwa rumus tersebut benar untuk ( k+1 ), dan dengan demikian, berdasarkan prinsip induksi matematika, rumus tersebut benar untuk setiap bilangan asli n.

Dengan demikian, kita dapat menyimpulkan bahwa rumus jumlah deret genap (2 + 4 + 6 + 8 + ldots + 2n) adalah ( S_n = n(2n + 2) / 2 ). Ini memberikan kita cara yang efisien untuk menghitung jumlah deret tanpa harus menjumlahkan setiap suku satu per satu.

Also Read

Bagikan:

Tags

Tinggalkan komentar